Åk 9
Kapitel 2.10
Algebra och ekvationer

Kvadratrötter

Beräkna och förenkla kvadratrötter samt förstå rationella och irrationella tal.

På den här sidan

Vad är en kvadratrot?

Kvadratroten ur ett icke-negativt tal a\displaystyle a är det icke-negativa tal som multiplicerat med sig själv ger a\displaystyle a.

Definitionen gäller när b≥0\displaystyle b \geq 0 och b2=a\displaystyle b^2 = a:

a=b\sqrt{a} =\nobreak b

Tänk: arean av en kvadrat

A=25 cm2\displaystyle A = 25\text{ cm}^2

Sidans längd är 25 cm=5 cm\displaystyle \sqrt{25}\text{ cm} = 5\text{ cm}.

Vanliga kvadratrötter att kunna utantill

1=1\displaystyle \sqrt{1} = 1
4=2\displaystyle \sqrt{4} = 2
9=3\displaystyle \sqrt{9} = 3
16=4\displaystyle \sqrt{16} = 4
25=5\displaystyle \sqrt{25} = 5
36=6\displaystyle \sqrt{36} = 6
49=7\displaystyle \sqrt{49} = 7
64=8\displaystyle \sqrt{64} = 8
81=9\displaystyle \sqrt{81} = 9
100=10\displaystyle \sqrt{100} = 10
121=11\displaystyle \sqrt{121} = 11
144=12\displaystyle \sqrt{144} = 12

Rotregler

Produktregeln

För a≥0\displaystyle a \geq 0 och b≥0\displaystyle b \geq 0 gäller:

a⋅b=a⋅b\sqrt{a \cdot\nobreak b} = \sqrt{a} \cdot\nobreak \sqrt{b}

Kvotregeln

I kvotregeln måste dessutom b>0\displaystyle b > 0:

ab=ab\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

Viktigt

Man kan inte dela upp roten vid addition eller subtraktion:

9+16=59+16=75≠7\begin{gathered}\sqrt{9+\nobreak 16}=\nobreak 5\\\sqrt9+\nobreak \sqrt{16}=\nobreak 7\\5\neq\nobreak 7\end{gathered}

Förenkla kvadratrötter

Hitta den största kvadraten som är en faktor i talet under rottecknet.

Exempel: Förenkla en kvadratrot

Uppgift: Förenkla 72\displaystyle \sqrt{72}.

Exempel: Förenkla en kvadratrot

Uppgift: Förenkla 200\displaystyle \sqrt{200}.

Rationella och irrationella tal

Rationella

Kan skrivas som en kvot av två heltal med nämnare skild från noll. Decimalutvecklingen är avslutad eller periodisk. Kvadratroten ur ett perfekt kvadrattal är rationell.
Exempel: 25=5\displaystyle \sqrt{25} = 5, 0,04=0,2\displaystyle \sqrt{0{,}04} = 0{,}2

Irrationella

Kan inte skrivas som exakt bråk. Decimalen slutar aldrig och upprepar sig aldrig.
Exempel: 2≈1,414…\displaystyle \sqrt{2} \approx 1{,}414\ldots, 3≈1,732…\displaystyle \sqrt{3} \approx 1{,}732\ldots

Vanliga misstag

Vanliga misstag

  • Tro att a+b=a+b\displaystyle \sqrt{a+b} = \sqrt{a}+\sqrt{b}. Det stämmer inte!
  • Glömma att x2=∣x∣\displaystyle \sqrt{x^2} = |x|, inte bara x\displaystyle x.
  • Blanda ihop 16=4\displaystyle \sqrt{16} = 4 med 162=256\displaystyle 16^2 = 256.

Vanliga frågor

Studietips

Studietips

  • Lär dig de vanliga kvadrattalen 1-144 utantill.
  • Öva på att faktorisera tal under rottecknet.
  • Kontrollera alltid genom att kvadrera ditt svar.

Testa dig själv

Testa dig själv1/5

Vad är 49\displaystyle \sqrt{49}?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Åk 9. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Aktivera JavaScript för att använda formulär och interaktiva verktyg. Sidans innehåll och länkar kan läsas utan JavaScript.