Tal i bråk- och decimalform (Åk 7) | Kapitel 1.6

Bakgrund

Tal i bråk- och decimalform är fundamentala koncept inom matematiken. De används för att representera delar av en helhet och för att uttrycka exakta värden som inte kan representeras med heltal.

Teori

Bråk

Ett bråk består av täljare och nämnare. Täljaren anger hur många delar vi har, nämnaren hur många delar helheten är uppdelad i.

\text{Bråk}=\frac{\text{Täljare}}{\text{Nämnare}}

Exempel: I $\displaystyle \frac{3}{4}$ är 3 täljaren och 4 nämnaren.

Typer av bråk:

Äkta bråk: täljaren mindre än nämnaren, t.ex. $\displaystyle \frac{2}{3}$
Oäkta bråk: täljaren större än eller lika med nämnaren, t.ex. $\displaystyle \frac{5}{3}$
Blandad form: heltal + äkta bråk, t.ex. $\displaystyle 1\frac{2}{3}$

Förkortning och förlängning:

Förkortning: $\displaystyle \frac{6}{8}=\frac{6\div2}{8\div2}=\frac{3}{4}$

Förlängning: $\displaystyle \frac{3}{4}=\frac{3\times2}{4\times2}=\frac{6}{8}$

Decimaltal

Decimaltal representerar bråkdelar med decimalsystemet. Exempel: 3,14 där 3 är heltalsdel och 14 decimaldel.

Omvandling mellan bråk och decimaltal:

$\displaystyle \frac{3}{4}=3\div4=0,75$

$\displaystyle 0,75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$

Operationer med bråk och decimaltal

Addition/subtraktion av bråk med samma nämnare:

\frac{a}{c}\pm\nobreak \frac{b}{c}=\frac{a\pm\nobreak b}{c}

Exempel: $\displaystyle \frac{3}{5}+\frac{2}{5}=\frac{5}{5}=1$

Olika nämnare: hitta gemensam nämnare (MGM).

$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ , MGM = 6

$\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{3}{6},\ \frac{1}{3}=\frac{2}{6}$

$\displaystyle \frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$

Multiplikation av bråk:

\frac{a}{b}\times\nobreak \frac{c}{d}=\frac{a\times\nobreak c}{b\times\nobreak d}

Exempel: $\displaystyle \frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

Division av bråk:

\begin{gathered}\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}\\=\frac{a}{b}\times\nobreak \frac{d}{c}\\=\frac{a\times\nobreak d}{b\times\nobreak c}\end{gathered}

Exempel: $\displaystyle \frac{3}{4}\div\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\times\frac{2}{1}=\frac{3}{2}=1,5$

Operationer med decimaltal:

  3,14
+ 2,75
------
  5,89

Vid multiplikation/division: räkna först som heltal och justera decimalplaceringen i svaret.

Exempel: $\displaystyle 2{,}5 \cdot 0{,}4 \Rightarrow 25 \cdot 4 =\,100$ , två decimaler totalt → 1,00.

Avrundning och överslagsräkning

Om siffran till höger är 5 eller större: avrunda uppåt.
Om siffran till höger är mindre än 5: avrunda nedåt.

Exempel: 3,14159 till två decimaler blir 3,14. 3,14659 till två decimaler blir 3,15.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Bråkräkning i vardagen

Uppgift: En pizza har 8 bitar. Du äter 3 bitar. Hur stor andel av pizzan har du ätit?

Exempel 2: Omvandling bråk → decimal → procent

Uppgift: Skriv $\displaystyle \frac{5}{8}$ som decimaltal och procent.

Exempel 3: Addition av bråk med olika nämnare

Uppgift: Beräkna $\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{4}$

Exempel 4: Decimaltal i praktiken

Uppgift: Löpare springer 100 m på 11,34 s. Hur lång tid för 400 m vid samma hastighet?

Exempel 5: Blandad form till oäkta bråk

Uppgift: Omvandla $\displaystyle 3\frac{1}{4}$ till oäkta bråk:

Interaktiv träning

Bråk till decimal/procent

Skriv täljare och nämnare för att se omvandlingar direkt.

Förenklad form: $\displaystyle \frac{5}{8}$

Decimalform: 0,625

Procent: 62,5%

Decimal till bråk

Omvandla ett decimaltal till bråk i enklaste form.

Bråkform: $\displaystyle \frac{3}{4}$

Addition av bråk med olika nämnare

Testa egna bråk och få summan i enklaste form.

Summa: $\displaystyle \frac{7}{12}$

Vanliga misstag

Addera täljare och nämnare separat vid addition av bråk
Glömma gemensam nämnare vid addition/subtraktion med olika nämnare
Fel decimalplacering vid multiplikation/division av decimaltal
Förväxla bråk och division (t.ex. vad $\displaystyle \frac{1}{2}$ betyder)
Felaktig förkortning av bråk

Vanliga frågor

Fråga 1: Hur vet jag om ett bråk kan förkortas?

Om täljare och nämnare har en gemensam faktor större än 1 kan bråket förkortas.

Fråga 2: Varför adderar man inte nämnare vid bråkaddition?

Nämnaren beskriver storleken på delarna. Vi adderar antal delar (täljare) av samma storlek.

Fråga 3: Hur omvandlar jag periodiskt decimaltal till bråk?

\begin{gathered}x\\=\nobreak 0,333...\ ,\ \allowbreak 10x\\=\nobreak 3,333...\ ,\ \allowbreak 10x-x\\=\nobreak 3\Rightarrow 9x\\=\nobreak 3\Rightarrow x\\=\frac{1}{3}\end{gathered}

Fråga 4: Hur jämför jag bråk med olika nämnare?

Omvandla till decimaltal, eller
hitta gemensam nämnare, eller
använd korsvis multiplikation: jämför $\displaystyle a\times d$ med $\displaystyle b\times c$ .

Fråga 5: Hur rundar jag decimaltal korrekt?

Bestäm avrundningsposition.
Titta på siffran direkt till höger.
5 eller större: uppåt. Annars: nedåt.
Ta bort resten av siffrorna till höger.

Tips för att bemästra tal i bråk- och decimalform

Viktiga saker att tänka på

Bråk och decimaltal är två representationer av samma idé: delar av en helhet.
Visualisera med tallinje eller cirkeldiagram.
Lär vanliga par utantill, t.ex. $\displaystyle \frac{1}{2}=0,5,\ \frac{1}{4}=0,25$ .
Förkorta alltid bråksvar när det går.
Vid bråkaddition/subtraktion: börja alltid med gemensam nämnare.
Var noggrann med decimalplacering vid multiplikation/division.
Gör överslagsräkning för rimlighetskontroll.
Träna i vardagliga situationer.

Kontrollera din förståelse

Testa dig själv1/4

Vad är $\displaystyle \frac{3}{8}$ som decimaltal?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Åk 7. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här