Åk 7

Kapitel 3.4

Geometri

Skala och likformighet

På den här sidan

Bakgrund

Skala och likformighet är viktiga begrepp inom geometri som hjälper oss att förstå förhållanden mellan olika former och storlekar. De används i många praktiska situationer, från kartor och ritningar till konstruktion och design.

Teori

Skala

Skala är ett förhållande mellan en avbildning och verkligheten. Skala definieras som:

Definition

k=\frac{a}{v}

k är skalan, a är måttet på avbildningen och v är motsvarande mått i verkligheten. Använd samma enhet för a och v.

Skala kan uttryckas på tre sätt:

Som ett bråk: $\displaystyle \frac{1}{100}$
Som en kvot: $\displaystyle 1:100$
I procentform: 1 %

Det finns tre typer av skalor:

Naturlig skala ( $\displaystyle 1:1$ ): Avbildningen har samma storlek som verkligheten.
Förminskande skala (t.ex. $\displaystyle 1:100$ ): Avbildningen är mindre än verkligheten.
Förstorande skala (t.ex. $\displaystyle 2:1$ ): Avbildningen är större än verkligheten.

Exempel på skalaberäkningar

Uppgift 1

En karta har skalan $\displaystyle 1:50\,000$ . Hur lång är en sträcka på kartan som motsvarar 5 km i verkligheten?

Omvandla 5 km till meter: 5 km = 5 000 m.
Använd skalformeln: kartans längd = verklig längd / 50 000.
Visa enhetskedja steg för steg: $\begin{gathered}5\text{ km}=\nobreak 5\,000\text{ m}\\=\nobreak 500\,000\text{ cm}\\\frac{500\,000}{50\,000}\\=\nobreak 10\text{ cm}\end{gathered}$

Sträckan på kartan är 10 cm lång.

Uppgift 2

En modell av en bil är 25 cm lång. Den verkliga bilen är 4 meter lång. Vilken skala har modellen?

Omvandla till samma enhet: 4 $\displaystyle m =\,400$ cm.
Beräkna skalan: $\begin{gathered}\text{Skala}\\=\frac{25}{400}\\=\frac{1}{16}\\=\nobreak 1:16\end{gathered}$

Modellen har skalan $\displaystyle 1:16$ .

Likformighet

Likformighet handlar om figurer som har samma form men kan vara olika stora. Likformiga figurer har proportionella sidor och lika stora vinklar.

Definition

Två figurer är likformiga om alla motsvarande vinklar är lika stora och förhållandet mellan alla motsvarande sidor är konstant.

För likformiga figurer gäller:

Motsvarande vinklar är lika stora.
Förhållandet mellan motsvarande sidor är konstant (skalfaktorn).
Areorna förhåller sig som kvadraten på skalan, alltså $\displaystyle k^2$ .
Volymerna förhåller sig som kuben på skalan, alltså $\displaystyle k^3$ .

Exempel på likformighet

Uppgift 3

Två trianglar är likformiga. I den mindre triangeln är sidorna 3 cm, 4 cm och 5 cm. I den större triangeln är den längsta sidan 15 cm. Beräkna de andra sidorna i den större triangeln.

Namnge motsvarande sidor i ordning: 5 cm ↔ 15 cm, 3 cm ↔ ?, 4 cm ↔ ?.
Beräkna skalfaktorn: $k=\frac{15}{5}=\nobreak 3$
Multiplicera de andra sidorna med skalfaktorn:
- 3 cm · $\displaystyle 3 = 9$ cm
- 4 cm · $\displaystyle 3 = 12$ cm

Den större triangelns sidor är 9 cm, 12 cm och 15 cm.

Uppgift 4

En rektangel har sidorna 8 cm och 6 cm. En likformig rektangel har en sida som är 12 cm. Vilken är den andra sidan i den större rektangeln?

Anta att 12 cm motsvarar den längre sidan 8 cm.
Beräkna skalfaktorn: $k=\frac{12}{8}=\nobreak 1,5$
Beräkna motsvarande kort sida: $6\cdot\nobreak 1,5=\nobreak 9\text{ cm}$

Den andra sidan i den större rektangeln är 9 cm.

Tillämpningar av skala och likformighet

Kartor och ritningar
Modeller och miniatyrer
Fotografier och bildförstoring
Arkitektur och konstruktion
Geometriska bevis och problemlösning

Interaktiv verkstad

Talens absolutbelopp får vara högst 1 000 000. Tal skilda från noll ska vara minst 0,000001 i absolutbelopp. Längder och skalor ska vara positiva.

Karta: verklighet till kartlängd

Enhetsomvandling i stegen km → m → cm.

Kartlängd: 10,00 cm

\begin{gathered}5,00\text{ km}\\=\nobreak 5000,00\text{ m}\\=\nobreak 500000,00\text{ cm}\\\text{Kartlängd}\\=\frac{500000,00}{50000}\text{ cm}\\=\nobreak 10,00\text{ cm}\end{gathered}

Skala från modell till verklighet

Beräkna kvoten modellmått/verkligt mått.

Skala: 1:16,00

\begin{gathered}4,00\text{ m}\\=\nobreak 400,00\text{ cm}\\k=\frac{25,00}{400,00}\\=\frac{1}{16,00}\end{gathered}

Likformig triangel

Räkna fram de okända sidorna i den större triangeln.

Ange tre sidor som bildar en triangel. Sidan c ska vara längst och motsvara den stora triangelns längsta sida.

Skalfaktor: 3,000

Övriga sidor i stora triangeln: 9,00 cm och 12,00 cm

Likformig rektangel

Spårbar sidparning före proportion.

Skalfaktor: 1,500

Ny kort sida: 9,00 cm

Skalfaktor för längd, area och volym

Längdskala k2

Längd: $\displaystyle k$ = 2

Area: $\displaystyle k^2$ = 4

Volym: $\displaystyle k^3$ = 8

Vanliga misstag

Förväxla täljare och nämnare i skalberäkningar.
Glömma att omvandla enheter innan skalberäkningar.
Anta att alla liknande figurer är likformiga (alla rektanglar är till exempel inte likformiga).
Glömma att kontrollera både sidförhållanden och vinklar vid likformighet.
Felaktigt använda linjär skala för area- och volymberäkningar.

Vanliga frågor

Fråga 1: Vad är skillnaden mellan kongruens och likformighet?

Kongruenta figurer har exakt samma storlek och form. Likformiga figurer har samma form men kan vara olika stora. Alla kongruenta figurer är likformiga, men alla likformiga figurer är inte kongruenta.

Fråga 2: Hur påverkar skala arean och volymen?

Om längdskalan är $\displaystyle k$ blir areaskalan $\displaystyle k^2$ och volymskalan $\displaystyle k^3$ . Om skalan är $\displaystyle 2:1$ blir arean 4 gånger större och volymen 8 gånger större.

Fråga 3: Kan negativa skalor användas?

I ren längdskala används normalt positiva tal. I transformationer kan en negativ skalfaktor betyda att figuren både skalar om och speglas.

Fråga 4: Hur vet man om två trianglar är likformiga?

AAA: två par motsvarande vinklar är lika stora.
SAS: två sidförhållanden är lika och mellanliggande vinkel är lika stor.
SSS: tre par sidförhållanden är lika.

Tips för att bemästra skala och likformighet

Enhetskonsistens: använd alltid samma enheter innan du räknar.
Visualisera: rita figurer och markera motsvarande sidor och vinklar.
Kontrollera rimlighet: bedöm om svaret är logiskt i sammanhanget.
Öva på förhållanden: snabb proportionstänkning gör skala enklare.
Använd korsvis multiplikation: hjälper vid proportioner med en okänd.
Tänk på dimensioner: längd skalar med $\displaystyle k$ , area med $\displaystyle k^2$ och volym med $\displaystyle k^3$ .

Kontrollera din förståelse

Testa dig själv1/3

Vad betyder skalan $\displaystyle 1:50\,000$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i geometri för Åk 7. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här