Åk 7 - Kapitel 4.2

Direkt och omvänd proportionalitet

Proportionalitet beskriver hur två storheter hänger ihop. I direkt proportionalitet ökar/minskar de i samma takt. I omvänd proportionalitet ökar den ena när den andra minskar så att produkten hålls konstant.

På den här sidan

Bakgrund

Viktigt

Direkt proportionalitet innebär att kvoten mellan storheterna är konstant. Omvänd proportionalitet innebär att deras produkt är konstant. Att båda ökar eller att den ena minskar räcker inte för att avgöra om sambandet är proportionellt.

Proportionalitet är ett centralt verktyg i matematik och vardag, till exempel för hastighet, arbetstid, recept, skala och prisberäkningar.

Teori

Direkt proportionalitet

Två storheter är direkt proportionella när de förändras med samma faktor.

y =\nobreak kx

Kvoten är konstant: $\displaystyle \frac{y}{x} = k$ .

Omvänd proportionalitet

Två storheter är omvänt proportionella när produkten är konstant.

y = \frac{k}{x}

Produkten är konstant: $\displaystyle x \cdot y = k$ .

Grafisk tolkning

Korrekt proportionalitetsgraf: linjen för direkt proportionalitet går genom origo.

Direkt proportionalitet

$\displaystyle y=2x$

Lodrät axel: y

012345012345678910

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=2x$

Omvänd proportionalitet, positiva x

$\displaystyle y=6/x$

Lodrät axel: y

01234560123456789101112

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=6/x$

När x ökar i det direkta sambandet ökar y i samma förhållande. I det omvända sambandet är produkten xy konstant: när x fördubblas halveras y. Vid $\displaystyle x = 0$ är divisionen inte definierad.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Direkt proportionalitet

Uppgift: En bil kör med konstant hastighet 60 km/h. Hur långt kommer bilen på 2 timmar respektive 3 timmar?

Exempel 2: Omvänd proportionalitet

Uppgift: Det tar 6 timmar för 4 personer att måla ett hus. Hur lång tid tar det för 8 personer?

Exempel 3: Identifiera proportionalitet

Uppgift: Avgör om sambanden är direkt proportionalitet, omvänd proportionalitet eller inget proportionellt samband.

Interaktiv träning

Sträcka och tid

Direkt proportionalitet: y = kx

Hastighet: 60 km/h

Tid: 2 h

Sträcka: 120 km

Måla hus

Omvänd proportionalitet: $\displaystyle x\cdot y = k$

Antal personer: 8

Tid: 3,00 timmar

Äppelkostnad

3 äpplen kostar 15 kr

Kostnad: 35,00 kr

Vanliga misstag

Förväxla direkt och omvänd proportionalitet.
Anta proportionalitet utan att kontrollera konstant kvot/produkt.
Glömma enheter vid tolkning av svaret.

Vanliga frågor

Hur vet jag om två storheter är proportionella?
Testa flera värdepar. Vid direkt proportionalitet är kvoten $\displaystyle \frac{y}{x}$ konstant. Vid omvänd proportionalitet är produkten $\displaystyle x\cdot y$ konstant.

Kan negativa värden vara proportionella?
Ja. Sambandet kan fortfarande vara proportionellt om kvoten eller produkten är konstant.

Hur ser graferna ut?
Direkt proportionalitet ger en rät linje som går genom origo. Omvänd proportionalitet ger en kurva (hyperbel).

Tips för att bemästra proportionalitet

Tips

Gör tabeller med flera värdepar innan du bestämmer sambandet.
Kontrollera alltid enheter i beräkning och slutsvar.
Använd proportionalitet i vardagliga sammanhang som pris, hastighet och recept.
Skissa grafen för att kontrollera om svaret är rimligt.
Vid omvänd proportionalitet: kom ihåg att produkten ska vara konstant.

Testa dig själv

Testa dig själv1/3

Vilken ekvation beskriver direkt proportionalitet?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i bråk för Åk 7. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här