Bråk och proportionalitet (Åk 7) | Kapitel 4

Teori

Typer av bråk

Egentliga bråk: täljaren mindre än nämnaren, t.ex. $\displaystyle \frac{3}{4}$ .
Oegentliga bråk: täljaren större än eller lika med nämnaren, t.ex. $\displaystyle \frac{5}{4}$ .
Blandad form: heltal + bråk, t.ex. $\displaystyle 1\frac{1}{4}$ .

Grundoperationer med bråk

Addition/subtraktion: samma nämnare eller gemensam nämnare.
Multiplikation: täljare med täljare, nämnare med nämnare.
Division: multiplicera med inversen.

\frac{1}{4}+\nobreak \frac{1}{2}=\frac{3}{4}

\frac{1}{3}\cdot\nobreak \frac{2}{5}=\frac{2}{15}

\frac{1}{2}\div\frac{1}{4}=\nobreak 2

Direkt proportionalitet

När en storhet ökar med en faktor k, ökar den andra med samma faktor.

\frac{y}{x}=\nobreak k

Exempel: sträcka och tid vid konstant hastighet.

Omvänd proportionalitet

När en storhet ökar minskar den andra så att produkten är konstant.

x\cdot\nobreak y=\nobreak k

Exempel: fler arbetare ger kortare tid för samma arbete.

Tillämpningar av proportionalitet

Skalor och kartor.
Recept och portionsändring.
Hastighet, sträcka och tid.
Ekonomi: jämförelsepriser och rabatt.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Bråkberäkning

Uppgift: Beräkna $\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{1}{4}$ .

Exempel 2: Direkt proportionalitet

Uppgift: 3 äpplen kostar 15 kr. Vad kostar 7 äpplen?

Exempel 3: Omvänd proportionalitet

Uppgift: 4 personer målar ett hus på 6 timmar. Hur lång tid tar 8 personer?

Exempel 4: Recept

Uppgift: 2 dl mjölk räcker till 4 personer. Hur mycket behövs för 6 personer?

Exempel 5: Omvand proportionalitet i arbete

Uppgift: 6 timmar för 4 personer. Hur lång tid för 8 personer?

Interaktiv verkstad

Bråkaddition

Resultat: $\displaystyle \frac{10}{8}$ = $\displaystyle \frac{5}{4}$

Direkt proportionalitet

3 äpplen kostar 15 kr

Kostnad: 35,00 kr

Omvänd proportionalitet

4 personer - 6 timmar

Personer: 8

Tid: 3,00 timmar

Vanliga misstag

Addera täljare och nämnare var för sig.
Glömma att förkorta när det går.
Förväxla direkt och omvänd proportionalitet.
Anta proportionalitet utan att kontrollera förhållandet.

Vanliga frågor

Hur vet jag om det är direkt eller omvänd proportionalitet?
Direkt: båda går åt samma håll. Omvänd: en upp, den andra ner.

Hur förkortar jag bråk?
Dividera täljare och nämnare med största gemensamma faktor.

Hur byter jag mellan bråk, decimal och procent?
Bråk till decimal: division. Decimal till procent: gånger 100. Procent till bråk: över 100 och förkorta.

Tips för att bemästra området

Studietips

Visualisera bråk med figurer.
Träna gemensam nämnare och förkortning.
Gör enhetskontroll i proportionalitetsuppgifter.
Öva på vardagsproblem med recept, skala, priser och hastighet.
Lär referenser som $\displaystyle \frac{1}{4}=0,25=25\%$ .

Fördjupning för högre betyg

Komplexa bråkuttryck

\begin{gathered}\frac{\frac{1}{2}+\nobreak \frac{1}{3}}{\frac{1}{4}-\nobreak \frac{1}{5}}\\=\frac{5}{6}\div\frac{1}{20}\\=\frac{100}{6}\\=16\frac{2}{3}\end{gathered}

Proportionalitet i geometri

\begin{gathered}\frac{AB}{DE}\\=\frac{BC}{EF},\;\frac{6}{9}\\=\frac{8}{EF}\Rightarrow EF\\=\nobreak 12\text{ cm}\end{gathered}

Blandningsproblem

20% och 50% saltlösning ska bli 1 liter med 30%.

\begin{gathered}x+\nobreak y\\=\nobreak 1, 0,20x+\nobreak 0,50y\\=\nobreak 0,30 \Rightarrow x\\=\frac{2}{3},\;y\\=\frac{1}{3}\end{gathered}

Sammanfattning

Bråk och proportionalitet är centrala byggstenar i matematik. När du behärskar bråkräkning, enhetshantering, direkt och omvänd proportionalitet blir du starkare i både vardagsmatte och fortsatt algebra/geometri.

Testa dig själv

Testa dig själv1/4

Vad kallas den övre delen av ett bråk?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i bråk för Åk 7. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här