Grundläggande binär aritmetik (Åk 6) | Kapitel 1.5.1

Bakgrund

Det binära talsystemet är grunden för all digital teknik och datorberäkningar. Till skillnad från vårt vanliga decimala system som använder tio siffror ( $\displaystyle 0-9$ ), använder det binära systemet endast två siffror: 0 och 1. Denna enkla representation gör det perfekt för elektroniska kretsar som kan vara antingen på (1) eller av (0).

Teori

I det binära systemet representerar varje siffra en potens av 2, precis som varje siffra i decimalsystemet representerar en potens av 10. Här är de första positionernas värden:

\displaystyle 2^{7}=128

\displaystyle 2^{6}=64

\displaystyle 2^{5}=32

\displaystyle 2^{4}=16

\displaystyle 2^{3}=8

\displaystyle 2^{2}=4

\displaystyle 2^{1}=2

\displaystyle 2^{0}=1

Addition i binärt system

Addition i det binära systemet följer samma principer som i det decimala systemet, men med endast två siffror. Här är reglerna:

$\displaystyle 0 + 0 = 0$
$\displaystyle 0 + 1 = 1$
$\displaystyle 1 + 0 = 1$
$\displaystyle 1 + 1 = 10$ (vi skriver 0 och ”minnessiffran” 1 går över till nästa kolumn)

Exempel på binär addition

\begin{array}{r}1011\\+0101\\\hline10000\end{array}

När vi adderar $\displaystyle 1+1=10_2$ skriver vi 0 i kolumnen och växlar en minnessiffra till nästa kolumn till vänster. Vi lånar bara vid subtraktion.

Subtraktion i binärt system

Subtraktion följer liknande regler som addition, men vi måste ibland ”låna” från vänster kolumn:

$\displaystyle 0 - 0 = 0$
$\displaystyle 1 - 0 = 1$
$\displaystyle 1 - 1 = 0$
Efter att ha lånat 1 från vänster kolumn blir beräkningen $\displaystyle 10_2 - 1_2 = 1_2$ .

Exempel på binär subtraktion

\begin{array}{r}1011\\-0101\\\hline0110\end{array}

Här måste vi ”låna” från den tredje kolumnen för att kunna subtrahera i den andra kolumnen.

Multiplikation i binärt system

Binär multiplikation följer samma princip som decimal multiplikation, men är enklare eftersom vi bara multiplicerar med 0 eller 1:

$\displaystyle 0 \times 0 = 0$
$\displaystyle 0 \times 1 = 0$
$\displaystyle 1 \times 0 = 0$
$\displaystyle 1 \times 1 = 1$

Exempel på binär multiplikation

\begin{array}{r}101\\\times\nobreak 11\\\hline101\\+1010\\\hline1111\end{array}

Division i binärt system

Binär division följer samma princip som decimal division, men med endast två siffror. Det kan vara mer utmanande och kräver ofta omvandling till decimalt för att verifiera resultatet.

Exempel på binär division

\dfrac{1111_2}{11_2}=\nobreak 101_2

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Konvertera från binärt till decimalt

Uppgift: Konvertera det binära talet 1011 till decimalt.

Exempel 2: Addera två binära tal

Uppgift: Addera de binära talen 1010 och 1101.

Exempel 3: Subtrahera två binära tal

Uppgift: Subtrahera det binära talet 101 från 1000.

Exempel 4: Multiplicera två binära tal

Uppgift: Multiplicera de binära talen 101 och 11.

Interaktivt: Testa binär aritmetik

Addition

Skriv två binära tal och se summan.

Tal ATal B

Binärt: 10000
Decimalt: 16

Subtraktion

Resultatet visas om det är 0 eller större.

Tal ATal B

Binärt: 110
Decimalt: 6

Vanliga misstag

Undvik detta

Glömma att ”låna” eller ”minnessiffra” vid addition och subtraktion.
Felaktig tolkning av positionsvärden vid konvertering mellan binärt och decimalt.
Försöka använda decimala metoder direkt på binära tal.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra binär aritmetik

Studietips

Öva på att snabbt identifiera positionsvärden i binära tal.
Använd “fingerräkning” i bas 2 för binär addition.
Skapa kopplingar mellan binära mönster och deras decimala motsvarigheter.
Tänk på subtraktion som “komplettering” snarare än bara lån.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Åk 6. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här