Faktorisering av tal (Åk 6) | Kapitel 2.9

Bakgrund

Faktorisering handlar om att dela upp tal i mindre delar, kallade faktorer. Det hjälper oss att lösa problem och förstå tals egenskaper.

Teori

Vad är en faktor?

En faktor är ett tal som delar ett annat tal utan rest. Till exempel är 1, 2, 3, 4, 6 och 12 faktorer till 12.

Primtal och sammansatta tal

Ett primtal är ett tal större än 1 som bara har faktorerna 1 och sig självt. Exempel: 2, 3, 5, 7, 11. Alla andra tal större än 1 kallas sammansatta tal.

Metoder för att hitta faktorer

1. Upprepad division

Dela talet med minsta primtalet (börja med 2) tills kvoten blir 1.

Exempel: Faktorisera 36

$\displaystyle 36 \div 2 = 18$

$\displaystyle 18 \div 2 = 9$

$\displaystyle 9 \div 3 = 3$

$\displaystyle 3 \div 3 = 1$

$\displaystyle 36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \cdot 3^2$

2. Faktorträd

Ett faktorträd visar faktoriseringen visuellt.

3. Faktorpar

Lista alla par som multiplicerat ger talet.

Exempel: Faktorer till 24

$\displaystyle 1 \times 24$

$\displaystyle 2 \times 12$

$\displaystyle 3 \times 8$

$\displaystyle 4 \times 6$

Faktorerna är: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Största gemensamma faktor (SGF)

SGF är den största faktorn som två eller flera tal har gemensamt.

Exempel: SGF för 18 och 24

Faktorer för 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Faktorer för 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Gemensamma faktorer: 1, 2, 3, 6

SGF: 6

Minsta gemensamma multipel (MGM)

MGM är det minsta talet som är delbart med flera tal.

Exempel: MGM för 6 och 8

Multiplar av 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36 …

Multiplar av 8: 8, 16, 24, 32 …

MGM: 24

Viktigt

Kvadrattal har ett udda antal faktorer. Övriga tal har ett jämnt antal.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Faktorisera 84

$\displaystyle 84 \div 2 = 42$
$\displaystyle 42 \div 2 = 21$
$\displaystyle 21 \div 3 = 7$
7 är primtal.

Uppgift: Skriv 84 som en produkt av primtal.

Exempel 2: Hitta faktorer till 48

Uppgift: Hitta alla positiva heltalsfaktorer till 48 genom att bilda faktorpar.

Exempel 3: SGF i vardagen

Uppgift: En snickare har plankor på 60 cm och 45 cm och vill såga lika långa bitar utan rest. Vilken är den största möjliga längden på bitarna?

Exempel 4: MGM med bussar

Uppgift: En buss går var 15:e minut och en annan var 20:e minut. De avgår 08:00 samtidigt. När avgår de nästa gång samtidigt?

Interaktivt: Faktorer och SGF/MGM

Testa själv: hitta faktorer, primtalsfaktorer, SGF och MGM.

Hitta alla faktorer

Exempel: 48

Tal

Faktorer: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

Primtalsfaktorisering

Exempel: 84

Tal

Primtalsfaktorer: 2 × 2 × 3 × 7

Med exponenter: 2^2 · 3 · 7

SGF och MGM

Exempel: 18 och 24

Tal 1

Tal 2

Gemensamma faktorer: 1, 2, 3, 6

SGF: 6

MGM: 72

Vanliga misstag

Undvik detta

Glömma att 1 och talet självt alltid är faktorer.
Missa några faktorer när du listar alla faktorer.
Förväxla primtalsfaktorisering med att lista alla faktorer.
Tro att alla tal har ett udda antal faktorer (endast kvadrattal har det).

Vanliga frågor

Tips för att bemästra faktorisering

Bra strategier

Lär dig multiplikationstabellen utantill.
Identifiera snabbt om talet är jämnt (då är 2 en faktor).
Memorera de första primtalen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Börja alltid faktoriseringen med minsta möjliga primtal.
Använd faktorträd för större tal.
För SGF: använd gemensamma primtalsfaktorer med lägsta exponent.
För MGM: använd alla primtalsfaktorer med högsta exponent.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Åk 6. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här