Tre typer av ekvationssystem

Lär dig skilja mellan unik lösning, oändligt många lösningar och ingen lösning, både algebraiskt och grafiskt.

På den här sidan

Bakgrund

Linjära ekvationssystem är centrala i algebra och används i fysik, ekonomi och ingenjörsvetenskap. Systemets lösningstyp avgör om modellen är bestämd, underbestämd eller inkonsistent.

Teori

Ett system med två ekvationer och två variabler:

\begin{cases}a_1x+\nobreak b_1y=\nobreak c_1\\a_2x+\nobreak b_2y=\nobreak c_2\end{cases}

Klassificering med koefficientförhållanden:

Unik lösning om $\displaystyle \frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}$ .
Oändligt många lösningar om $\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ .
Ingen lösning om $\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 4: Ekonomisk tillämpning

Uppgift: En butik säljer 50 plagg: t-shirts för 200 kr styck och byxor för 400 kr styck. Intäkten är 14 000 kr. Hur många av varje plagg säljs?

Exempel 5: Fysikalisk tillämpning

Uppgift: Två cyklister startar samtidigt på samma plats och cyklar åt motsatta håll med 20 respektive 25 km/h. Efter hur lång tid är de 90 km från varandra?

Interaktiv klassificering

Vilken typ av system är det?

Justera koefficienter och se om systemet är unikt, oändligt eller utan lösning.

a1: 2

b1: 1

c1: 5

a2: 1

b2: -1

c2: 1

\begin{cases}2x+\nobreak (1)y=\nobreak 5\\1x+\nobreak (-\nobreak 1)y=\nobreak 1\end{cases}

Systemtyp: unik lösning

$\displaystyle (x,y)=(2,1)$ .

Vanliga misstag

Teckenfel vid elimination eller substitution
Ingen kontroll i båda ursprungliga ekvationerna
Missad klassificering av ingen/oändlig lösning
Feltolkning av svar i problemets kontext

Vanliga frågor

Tips för att bemästra området

Viktiga saker att tänka på

Identifiera systemtypen tidigt genom koefficientförhållanden.
Översätt textproblem till tydliga variabler och ekvationer.
Kombinera algebraisk lösning med grafisk intuition.
Tolka alltid svar i kontext och med enheter.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här