Kapitel 2.3.3: Problemlösning med logaritmer | Matematik 2

Bakgrund

I Ma2 är logaritmer ett kraftfullt verktyg för tillväxt, avtagande och skalor med stora skillnader i storleksordning.

Teori

Logaritmen är inversen till exponentiering.

b^x=\nobreak y

\log_b(y)=\nobreak x

Här är $\displaystyle b$ basen.

Grundläggande logaritmregler

$\displaystyle \log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)$
$\displaystyle \log_b\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log_b(x)-\log_b(y)$
$\displaystyle \log_b(x^n)=n\log_b(x)$
$\displaystyle \log_b(x)=\frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}$ (basbyte)

Vanliga logaritmbaser

Naturlig logaritm $\displaystyle \ln$ : bas $\displaystyle e\approx2{,}71828$ .
Briggsk logaritm $\displaystyle \log$ : bas 10.

Obs

När bas inte anges i gymnasiematerial betyder

\displaystyle \log

oftast bas 10.

Logaritmiska ekvationer

Isolera logaritmtermen.
Förenkla med logaritmregler.
Använd exponentialfunktionen med samma bas på båda sidor.
Lös ekvationen.
Kontrollera lösningen och domänvillkor.

Exempel: lös och kontrollera en ekvation

Uppgift: Lös $\displaystyle \log_2(x+3)=4$ och kontrollera svaret.

Tillämpningar av logaritmer

1. Exponentiell tillväxt och avtagande

Exempel: en bakteriepopulation fördubblas var tredje timme. Från 1000 till 1 000 000:

\begin{gathered}1000\cdot\nobreak 2^t=\nobreak 1000000\\2^t=\nobreak 1000\\t=\log_2(1000)\approx\nobreak 9{,}97\end{gathered}

9{,}97\cdot\nobreak 3\approx\nobreak 29{,}9\ \text{timmar}

2. Decibelskalan

dB=10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right)

Exempel: från $\displaystyle 10\ \mathrm{W/m^2}$ till $\displaystyle 1000\ \mathrm{W/m^2}$ ger $\displaystyle 20\ \mathrm{dB}$ ökning.

3. pH-skalan

\mathrm{pH}=-\nobreak \log_{10}[H^+\nobreak ]

pH beskriver koncentrationen av vätejoner på en logaritmisk skala.

4. Richterskalan

En ökning med ett magnitudsteg motsvarar tio gånger större korrigerad amplitud i mätningen. Frigjord energi är en annan storhet och ökar ungefär 32 gånger per steg.

Problemlösningsstrategier med logaritmer

Identifiera exponentiella relationer.
Omvandla $\displaystyle a^x=b$ till $\displaystyle \log_a(b)=x$ .
Välj bas som förenklar beräkningen.
Använd regler systematiskt.
Kontrollera definitionsmängd: logaritmens argument måste vara positivt.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Ränta-på-ränta

Uppgift: 5000 kr investeras med 7 procent årlig ränta. När har kapitalet fördubblats enligt modellen?

Exempel 2: Radioaktivt sönderfall

Uppgift: En modell har halveringstiden 5730 år och startmassan 100 g. Hur stor massa återstår efter 20 000 år?

Exempel 3: Ljudintensitet

Uppgift: Ljudintensiteten ökar från 10 till 1000 watt per kvadratmeter. Beräkna ökningen i decibel med $\displaystyle \Delta L=10\log_{10}(I_2/I_1)$ .

Interaktivt problemlösningslabb

Välj scenario och testa värden

Direkt återkoppling för tillväxt, decibel och pH.

Tillväxtfaktor per period (a)

Målfaktor (N)

\begin{gathered}t=\frac{\ln(2)}{\ln(1{,}07)}\\\approx10{,}2448\end{gathered}

1{,}07^{10{,}2448}\approx\nobreak 2

Visualisering av logaritmisk funktion

$\displaystyle y=\log_2(x)$

Graf med korrekt domän, asymptot och textförklaring.

Logaritm med bas 2 och dess nollställe

Lodrät axel: y

012345678−3−2−10123

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=\log_2(x)$

Markerade punkter (ungefär):

(1; 0)

Kurvan växer snabbt i början och långsammare för större $\displaystyle x$ . Detta är typiskt för logaritmiska funktioner.

Vanliga misstag

Glömma att logaritmens argument måste vara positivt.
Använda logaritmregler fel vid addition och subtraktion.
Förväxla $\displaystyle \log$ och $\displaystyle \ln$ .
Inte kontrollera kandidatlösningar i ursprungsekvationen.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra problemlösning med logaritmer

Viktigt att tänka på

Kontrollera alltid domänen: argumentet måste vara positivt.
Välj bas som gör beräkningar och tolkning enklare.
Arbeta stegvis med logaritmreglerna.
Gör alltid en rimlighetskontroll i slutet.
?va på att växla mellan exponentiell och logaritmisk form.

Kvalitetskontroll

Sidan innehåller teori, exempel, vanliga misstag, frågor och tips.
Problemlösning följer stegen: givet, sökes, metod, beräkning, rimlighetskontroll.
Visualiseringen har korrekt domän $\displaystyle x>0$ och asymptot $\displaystyle x=0$ .

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här