Kapitel 2.3.1: Exponentialekvationer och logaritmer | Matematik 2

Bakgrund

Logaritmer används för att beskriva exponentiella samband och lösa ekvationer där variabeln står i exponenten. Det gör dem centrala i naturvetenskap, ekonomi och datavetenskap.

Teori

Definition av logaritmer

\begin{gathered}y=\log_b(x)\iff b^y=\nobreak x\\b>\nobreak 0\\b\neq\nobreak 1\\x>\nobreak 0\end{gathered}

Här är $\displaystyle b$ basen, $\displaystyle x$ argumentet och $\displaystyle y$ logaritmens värde.

Vanliga baser

Naturlig logaritm: $\displaystyle \ln(x)=\log_e(x)$ , där $\displaystyle e\approx2{,}71828$ .
Briggsk logaritm: $\displaystyle \log(x)=\log_{10}(x)$ .
Binär logaritm: $\displaystyle \log_2(x)$ .

Observera notation

I detta material betyder $\displaystyle \log$ bas 10 och $\displaystyle \ln$ bas $\displaystyle e$ .

Grundläggande egenskaper

$\displaystyle \log_b(1)=0$ eftersom $\displaystyle b^0=1$ .
$\displaystyle \log_b(b)=1$ eftersom $\displaystyle b^1=b$ .
Inversa funktioner: $\displaystyle \log_b(b^x)=x$ och $\displaystyle b^{\log_b(x)}=x$ .

Logaritmlagarna

Reglerna gäller för positiva argument $\displaystyle x$ och $\displaystyle y$ . Alla logaritmbaser måste vara positiva och skilda från 1.

\begin{gathered}\log_b(xy)\\=\log_b(x)+\log_b(y)\end{gathered}

Bevisidé: sätt $\displaystyle \log_b(x)=m$ och $\displaystyle \log_b(y)=n$ , använd $\displaystyle b^m\cdot b^n=b^{m+n}$ .

\begin{gathered}\log_b\!\left(\frac{x}{y}\right)\\=\log_b(x)-\log_b(y)\end{gathered}

Följer av produktregeln och att $\displaystyle \log_b(1/y)=-\log_b(y)$ .

\log_b(x^n)=n\log_b(x)

Bevisidé: skriv $\displaystyle x=b^m$ och använd $\displaystyle (b^m)^n=b^{mn}$ .

\log_b(x)=\frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}

Bevisidé: sätt $\displaystyle y=\log_b(x)$ , alltså $\displaystyle b^y=x$ , ta $\displaystyle \log_a$ på båda sidor och lös ut $\displaystyle y$ .

Grafisk representation

Definitionsmängd: $\displaystyle x>0$ .
Skärning med x-axeln: $\displaystyle (1,0)$ .
För $\displaystyle b>1$ : strängt växande.
För $\displaystyle 0<b<1$ : strängt avtagande.
Vertikal asymptot vid $\displaystyle x=0$ .

Grafer för logaritmfunktioner

Jämförelse av bas 2, 3 och 5 med korrekt asymptot och skärning.

Logaritmer med olika baser

Lodrät axel: y

012345678−3−2−10123

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=\log_{2}(x)$
Streckad: $\displaystyle y=\log_{3}(x)$
Prickad: $\displaystyle y=\log_{5}(x)$

Markerade punkter (ungefär):

(1; 0)

Alla kurvor går genom $\displaystyle (1,0)$ . Mindre bas (men större än 1) ger snabbare tillväxt.

Logaritmiska ekvationer

Omvandla med definitionen av logaritm.
Förenkla med logaritmlagar.
Lös algebraiskt och kontrollera att argumenten blir positiva.

Viktigt

Alla kandidatlösningar måste testas mot villkoret $\displaystyle \text{argument}>0$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Grundläggande logaritmberäkningar

Uppgift: Beräkna $\displaystyle \log_2(8)$ , $\displaystyle \log_{10}(100)$ och $\displaystyle \ln(e^3)$ .

Exempel 2: Förenkla med logaritmlagar

Uppgift: Skriv $\displaystyle \log_3(x)+\log_3(y)-2\log_3(z)$ som en logaritm, där $\displaystyle x>0$ , $\displaystyle y>0$ och $\displaystyle z>0$ .

Exempel 3: Lös logaritmisk ekvation

Uppgift: Lös $\displaystyle \log_2(x+3)=3$ och kontrollera att argumentet är positivt.

Exempel 4: Bakterietillväxt

Uppgift: En bakteriekultur börjar med 1000 bakterier och fördubblas var tredje timme. Hur lång tid tar det att nå 100 000 bakterier?

Exempel 5: Richterskalan

Uppgift: En ökning med ett magnitudsteg motsvarar tio gånger större uppmätt amplitud, efter samma korrigering för avstånd. Hur stor är amplitudfaktorn från magnitud 3 till magnitud 7?

Interaktivt ekvationslabb

Träna på exponentialekvationer och logaritmer

Välj scenario och få stegvis återkoppling.

Bas a

Målvärde N

x=\frac{\ln(5)}{\ln(2)}\approx2{,}32193

2^{2{,}32193}\approx\nobreak 5

Vanliga misstag

Använda logaritmlagar på summor istället för produkter/kvoter.
Glömma definitionsmängden i logaritmiska ekvationer.
Förväxla $\displaystyle \log$ och $\displaystyle \ln$ .
Tro att $\displaystyle \log_a(a^x)=a^x$ istället för $\displaystyle x$ .

Vanliga frågor

Tips för att behärska logaritmer

Viktigt att tänka på

Håll alltid reda på vilken bas du arbetar med.
Kontrollera definitionsmängden: argumentet måste vara positivt.
?va på att växla mellan exponential- och logaritmform.
Använd lagarna stegvis, inte i ett enda hopp.
Koppla varje algebraiskt steg till en grafisk eller praktisk tolkning.

Kvalitetskontroll

Domänvillkor för logaritmer är explicit med i teori och labb.
Grafen använder korrekt asymptot: $\displaystyle x=0$ .
Förklaringar, bevisidéer och tillämpningar är matematiskt kvalitetssäkrade.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här