Åk 9
Kapitel 4.3.2
Sannolikhet och statistik

Permutationer

Permutationer handlar om ordning. Här lär du dig formler och metoder för att räkna antal ordningar.

På den här sidan

Bakgrund

Permutationer används för att räkna olika sätt att ordna objekt, till exempel hur många lösenord som kan skapas eller hur många sätt en grupp kan ställa upp sig på rad.

Teori

En permutation är ett sätt att ordna objekt i en viss ordning. Antalet permutationer beror på om vi använder alla objekt eller bara några av dem.

Grundläggande permutationer

Om vi har n\displaystyle n olika objekt och använder alla i en ordning:

n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅⋯⋅2⋅1\begin{gathered}n!=n\cdot\nobreak (n-1)\cdot\nobreak (n-2)\\{}\cdot\nobreak \dots\cdot\nobreak 2\cdot\nobreak 1\end{gathered}

Exempel

Fem olika böcker kan ordnas på 5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=120\displaystyle 5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120 sätt. Det finns fem val för första platsen, sedan fyra och så vidare. Även 0!=1\displaystyle 0!=1.

Permutationer utan upprepning

Om vi väljer r\displaystyle r av n\displaystyle n objekt där ordningen spelar roll:

P(n,r)=n!(n−r)!P(n,r) = \frac{n!}{(n-\nobreak r)!}

Exempel

Välja 3 personer till prispall av 10: P(10,3)=720\displaystyle P(10,3)=720.

Permutationer med upprepning

Om vi har n\displaystyle n positioner och k\displaystyle k objekt att välja mellan (med upprepning):

knk^n

Exempel

En fyrsiffrig kod har tio val per position, inklusive 0 först: 104=10 000\displaystyle 10^4=10\,000 koder.

Interaktivt: Permutationskalkylator

Räkna fakultet och P(n,r)

Testa både n!\displaystyle n! och P(n,r)\displaystyle P(n,r).

Fakultet (n!)

Hur många ordningar av n objekt?

n! = 120

Permutation utan upprepning

P(n,r)

P(n,r) = 210

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Grundläggande permutation

Uppgift: Sju elever ska ställa sig på rad. På hur många olika sätt kan de ordnas?

Exempel 2: Permutation utan upprepning

Uppgift: Bland 25 personer ska en ordförande, en sekreterare och en kassör väljas. Varje person får bara en roll. På hur många sätt kan rollerna fördelas?

Exempel 3: Permutation med upprepning

Uppgift: Flagga med fem ordnade ränder och fyra valfria färger per rand. Färger får upprepas även på intilliggande ränder. Hur många färgläggningar finns?

Vanliga misstag

Undvik detta

  • Förväxla permutationer med och utan upprepning.
  • Blanda ihop n och r i formeln för P(n,r).
  • Välja fel metod när ordning inte spelar roll.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra permutationer

Viktigt att tänka på

  • Läs uppgiften noga och avgör om ordningen spelar roll.
  • Kontrollera om upprepning är tillåten.
  • Rita upp situationen om det hjälper dig.
  • Gör rimlighetskontroll av svaret.

Testa dig själv

Testa dig själv1/2

På hur många sätt kan 3 personer stå i en kö?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i sannolikhet för Åk 9. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Aktivera JavaScript för att använda formulär och interaktiva verktyg. Sidans innehåll och länkar kan läsas utan JavaScript.