Bråk (Åk 8) | Kapitel 2.1

Bakgrund

Bråk är en fundamental del av matematiken. Här arbetar vi med Åk 8-nivå på innehållet: tydlig metod, exakta mellansteg och koppling till vardagliga situationer.

Teori

Vad är ett bråk?

Täljare: antalet delar vi har.
Nämnare: antalet lika stora delar helheten är uppdelad i.

Bråk skrivs som $\displaystyle \frac{\text{täljare}}{\text{nämnare}}$ , till exempel $\displaystyle \frac{3}{4}$ .

Visualisering av 3/4

Tre av fyra lika stora delar är markerade, alltså $\displaystyle \frac{3}{4}$ .

Typer av bråk

Egentliga bråk: $\displaystyle \frac{2}{3}$
Oegentliga bråk: $\displaystyle \frac{5}{3}$
Blandad form: $\displaystyle 1\frac{2}{3}$

Förlängning och förkortning av bråk

Förlängning: multiplicera täljare och nämnare med samma tal. Förkortning: dividera med samma tal.

$\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{2\cdot2}{3\cdot2}=\frac{4}{6}$

$\displaystyle \frac{6}{8}=\frac{6\div2}{8\div2}=\frac{3}{4}$

Addition och subtraktion av bråk

Bråken måste ha samma nämnare. Välj MGN först.

\begin{gathered}\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\\=\frac{4}{12}+\nobreak \frac{3}{12}\\=\frac{7}{12}\end{gathered}

Multiplikation av bråk

\begin{gathered}\frac{2}{3}\cdot\nobreak \frac{3}{4}\\=\frac{2\cdot\nobreak 3}{3\cdot\nobreak 4}\\=\frac{6}{12}\\=\frac{1}{2}\end{gathered}

Division av bråk

Dividera med ett bråk genom att multiplicera med det inverterade bråket.

\begin{gathered}\frac{2}{3}\div\frac{3}{4}\\=\frac{2}{3}\cdot\nobreak \frac{4}{3}\\=\frac{8}{9}\end{gathered}

Jämförelse av bråk

Förläng till gemensam nämnare och jämför täljare.
Eller omvandla till decimaltal och jämför.

Jämför $\displaystyle \frac{2}{3}$ och $\displaystyle \frac{3}{4}$ :

$\begin{gathered}\frac{2}{3}\\=\frac{8}{12},\;\frac{3}{4}\\=\frac{9}{12}\end{gathered}$

Eftersom $\displaystyle 9 > 8$ är $\displaystyle \frac{3}{4}>\frac{2}{3}$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Pizzadelning

Uppgift: En pizza delas i 8 lika bitar och 3 äts upp. Hur stor del är äten?

Exempel 2: Recept

Uppgift: Receptet kräver $\displaystyle \frac{3}{4}$ kopp socker. Hur mycket behövs för halvt recept?

Exempel 3: Jämförelse i vardagen

Uppgift: Lisa har läst $\displaystyle \frac{2}{5}$ och Kalle $\displaystyle \frac{5}{12}$ . Vem har läst störst andel av sin bok?

Interaktiv träning

Addera bråk

Med automatisk MGN och förkortning.

Täljare 1Nämnare 1Täljare 2Nämnare 2

MGN: 12

$\begin{gathered}\frac{4}{12}+\frac{3}{12}\\=\frac{7}{12}\end{gathered}$

Förenklat: $\displaystyle \frac{7}{12}$

Jämför bråk

Jämförelse via korsmultiplikation.

Täljare ANämnare ATäljare BNämnare B

$\begin{gathered}2 \cdot\nobreak (4)\\=\nobreak 8\end{gathered}$

$\begin{gathered}3 \cdot\nobreak (3)\\=\nobreak 9\end{gathered}$

$\displaystyle \frac{2}{3} < \frac{3}{4}$

Pizza till procent

Del av helhet i bråk, decimal och procent.

Ätna bitarTotalt antal bitar

Äten del: $\displaystyle \frac{3}{8}$

Procent: 37,5 %

Kvar: 5 av 8 bitar

Vanliga misstag

Addera/subtrahera täljare och nämnare separat utan gemensam nämnare.
Glömma att förkorta efter beräkning.
Blanda ihop regler för addition/subtraktion med multiplikation/division.
Jämföra bråk utan att ta hänsyn till nämnarnas storlek.

Vanliga frågor

Fråga 1: Varför kan man inte addera $\displaystyle \frac{1}{2}$ och $\displaystyle \frac{1}{3}$ genom att addera täljare och nämnare?
Delarna är inte lika stora. Man måste först använda gemensam nämnare: $\begin{gathered}\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\\=\frac{3}{6}+\nobreak \frac{2}{6}\\=\frac{5}{6}\end{gathered}$ .

Fråga 2: Hur vet jag om ett bråk kan förkortas?
Om täljare och nämnare har en gemensam faktor större än 1 kan bråket förkortas.

Fråga 3: Hur omvandlar jag ett bråk till decimaltal?
Dividera täljaren med nämnaren, till exempel $\displaystyle 3 \div 4 = 0{,}75$ .

Tips för att bemästra bråk

Viktigt

Visualisera bråk med figurer för att förstå helhet och del.
Träna på ekvivalenta bråk för snabbare jämförelser.
Använd vardagliga situationer som recept och delning.
Träna sambandet mellan bråk, decimal och procent.
Definiera alltid helheten innan du tolkar ett bråk i textproblem.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i sannolikhet för Åk 8. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här