Åk 7

Kapitel 5.1

Sannolikhet

Vad är sannolikhet och hur beräknar man sannolikhet?

På den här sidan

Bakgrund

Sannolikhet hjälper oss att förstå hur troligt det är att något händer. Begreppet används i allt från väderprognoser och spel till riskbedömning i vardagen. Här bygger vi en stabil grund för Åk 7.

Teori

Vad är sannolikhet?

Sannolikhet är ett mått mellan 0 och 1:

0 betyder omöjligt
1 betyder säkert
0,5 betyder 50 % chans

Sannolikhet kan också skrivas som procent eller bråk.

Grundläggande begrepp

Utfall: ett möjligt resultat av ett slumpförsök.
Utfallsrum: mängden av alla möjliga utfall.
Gynnsamma utfall: de utfall som uppfyller det vi frågar efter.

Hur beräknar man sannolikhet?

Standardformeln är:

P=\frac{g}{m}

Detta gäller när alla möjliga utfall är lika sannolika. Här är $\displaystyle g$ antalet gynnsamma utfall och $\displaystyle m$ antalet möjliga utfall, med $\displaystyle m>0$ .

Viktigt

Formeln ovan gäller direkt när alla utfall är lika sannolika.

Exempel på sannolikhetsberäkningar

Exempel 1: Tärningskast

Uppgift: Vad är sannolikheten att få en $\displaystyle 4:a$ med en sexsidig tärning?

Exempel 2: Kortlek

Uppgift: I en kortlek med 52 kort: sannolikheten att dra ett hjärter?

Komplementhändelser

Komplementhändelsen är motsatsen till en händelse. Summan är alltid 1 (eller 100 %).

\begin{gathered}P(\text{inte regn})\\=\nobreak 1-\nobreak P(\text{regn})\\=\nobreak 1-\nobreak 0,3\\=\nobreak 0,7\\=\nobreak 70\%\end{gathered}

Sannolikhet vid flera försök

Vid oberoende försök multiplicerar vi sannolikheter för och. För frågor av typen minst en använder vi ofta komplementmetoden.

Exempel 3: Två tärningskast, minst en sexa

Sannolikhet att inte få sexa på en tärning: $\displaystyle \frac{5}{6}$ .
Oberoende kast, därför multiplicerar vi för och: $\displaystyle \frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}$ .
Komplement: $\begin{gathered}P(\text{minst en sexa})\\=1-\nobreak \frac{25}{36}\\=\frac{11}{36}\approx\nobreak 0,306\\=\nobreak 30,6\%\end{gathered}$

Träddiagram

Träddiagram visar alla möjliga vägar i flera steg. Här visas två myntkast:

Träddiagram i två steg

Följ en gren i första steget och därefter en gren i andra steget. Multiplicera längs vägen. Summera olika vägars sannolikheter om båda ska räknas med.

Steg 1: Krona

Grenens sannolikhet: $\displaystyle 0{,}5$

Steg 2: Krona

Grenens sannolikhet: $\displaystyle 0{,}5$

Sannolikhet för hela vägen:

\begin{gathered}0{,}5\cdot\nobreak 0{,}5\\=\nobreak 0{,}25\end{gathered}

Steg 2: Klave

Grenens sannolikhet: $\displaystyle 0{,}5$

Sannolikhet för hela vägen:

\begin{gathered}0{,}5\cdot\nobreak 0{,}5\\=\nobreak 0{,}25\end{gathered}

Steg 1: Klave

Grenens sannolikhet: $\displaystyle 0{,}5$

Steg 2: Krona

Grenens sannolikhet: $\displaystyle 0{,}5$

Sannolikhet för hela vägen:

\begin{gathered}0{,}5\cdot\nobreak 0{,}5\\=\nobreak 0{,}25\end{gathered}

Steg 2: Klave

Grenens sannolikhet: $\displaystyle 0{,}5$

Sannolikhet för hela vägen:

\begin{gathered}0{,}5\cdot\nobreak 0{,}5\\=\nobreak 0{,}25\end{gathered}

K = krona, T = klave. Varje gren har sannolikhet 0,5.

Exempel 4: Exakt en krona på två kast

Två gynnsamma vägar:
- K sedan T: $\displaystyle 0,5\cdot0,5=0,25$
- T sedan K: $\displaystyle 0,5\cdot0,5=0,25$
För eller mellan ömsesidigt uteslutande vägar adderar vi: $\displaystyle 0,25+0,25=0,5$ .

Uppgift: Vad är sannolikheten att få krona när du kastar ett rättvist mynt?

Övningar

Övning 1

En påse innehåller 3 röda, 4 blå och 5 gröna kulor. Vad är sannolikheten att dra en blå kula?

Totalt antal kulor: 12
Gynnsamma utfall: 4

\begin{gathered}P(\text{blå})\\=\frac{4}{12}\\=\frac{1}{3}\approx\nobreak 0,333\\=\nobreak 33,3\%\end{gathered}

Övning 2

Om du kastar två tärningar, vad är sannolikheten att summan blir 7?

Gynnsamma utfall är (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2) och (6; 1). Det är sex utfall. Första talet hör till den första tärningen och det andra till den andra.
Totalt antal möjliga utfall: $\displaystyle 6 \cdot 6 = 36$

\begin{gathered}P(\text{summa 7})\\=\frac{6}{36}\\=\frac{1}{6}\approx\nobreak 0,167\\=\nobreak 16,7\%\end{gathered}

Interaktiv verkstad

Räkna sannolikhet direkt

Sätt heltalsantal mellan 0 och 1 000 000. Antalet möjliga utfall måste vara större än noll och minst lika stort som antalet gynnsamma.

\begin{gathered}P=\frac{1}{6}\\\approx\nobreak 0{,}1667\\\approx16{,}67\%\end{gathered}

Komplementhändelse

Exempel: sannolikhet för regn och inte regn.

Regn i procent: 30

Inte regn: 70 %

\begin{gathered}P(\text{inte regn})\\=\nobreak 1-\nobreak 0{,}3\\=\nobreak 0{,}7\end{gathered}

Kulpåse: blå kula

Justerbara antal kulor och automatisk sannolikhet.

Blå: 4

Röd: 3

Grön: 5

\begin{gathered}P(\text{blå})\\=\frac{4}{12}\\=\frac{1}{3}\\\approx\nobreak 0{,}3333\\\approx33{,}33\%\end{gathered}

Simulering: minst en sexa på två tärningar

Jämför simulering med teorivärdet $\displaystyle \frac{11}{36}$ ≈ 30,6 %.

Antal försök: 120

Teori: 30,6 %

Simulerat resultat: -

Vanliga misstag

Glömma att kontrollera om utfallen är lika sannolika.
Blanda ihop och (multiplikation vid oberoende) med eller (addition av disjunkta fall).
Misstolka vardagliga sannolikheter, till exempel väderprognoser.

Fördjupning

Frivillig fördjupning för elever som vill vidare:

Betingad sannolikhet: sannolikheten för A givet att B redan inträffat.
Oberoende händelser: när den ena sannolikheten inte påverkas av den andra.
Kombinatorik: metoder för att räkna antal möjliga utfall i mer komplexa problem.

Tips för att bemästra sannolikhet

Viktigt att tänka på

Identifiera alltid utfallsrum och gynnsamma utfall först.
Kontrollera om händelser är beroende eller oberoende innan du multiplicerar.
Använd träddiagram för fler-stegsproblem.
Översätt vardagssituationer till matematiska modeller steg för steg.
Rimlighetskontroll: sannolikheter ligger alltid mellan 0 och 1.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i sannolikhet för Åk 7. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Aktivera JavaScript för att använda formulär och interaktiva verktyg. Sidans innehåll och länkar kan läsas utan JavaScript.