Positionssystemet (Åk 7) | Kapitel 1.2

Bakgrund

Positionssystemet är grunden för hur vi representerar tal i matematiken. I det decimala talsystemet använder vi tio siffror ( $\displaystyle 0-9$ ) och varje position motsvarar en potens av 10.

Teori

I det decimala positionssystemet har vi positionerna:

\begin{gathered}\text{Tusental, hundratal,}\\\text{tiotal och ental}\\\text{tiondelar, hundradelar,}\\\text{tusendelar och så vidare}\end{gathered}

Varje position representerar en potens av 10:

\begin{gathered}10^3,\ \allowbreak 10^2,\ \allowbreak 10^1,\ \allowbreak 10^0\\10^{-\nobreak 1},\ \allowbreak 10^{-\nobreak 2},\ \allowbreak 10^{-\nobreak 3},\ \allowbreak \ldots\end{gathered}

Till exempel, i talet 3456,78:

3 i tusental: $\displaystyle 3 \times 10^3 = 3000$
4 i hundratal: $\displaystyle 4 \times 10^2 = 400$
5 i tiotal: $\displaystyle 5 \times 10^1 = 50$
6 i ental: $\displaystyle 6 \times 10^0 = 6$
7 i tiondelar: $\displaystyle 7 \times 10^{-1} = 0,7$
8 i hundradelar: $\displaystyle 8 \times 10^{-2} = 0,08$

Summan av dessa delar är 3456,78.

Andra talbaser

Binära systemet (bas 2): siffrorna 0 och 1, viktigt i datorer.
Oktala systemet (bas 8): siffrorna $\displaystyle 0-7$ .
Hexadecimala systemet (bas 16): siffrorna $\displaystyle 0-9$ och bokstäverna A-F.

Omvandling mellan talbaser

Omvandla först till bas 10 (om talet inte redan är i bas 10).
Omvandla sedan från bas 10 till önskad bas.

Exempel: 1011₂ till decimal

\begin{aligned}1011_2&=1\cdot\nobreak 2^3\\&\quad+\nobreak 0\cdot\nobreak 2^2\\&\quad+\nobreak 1\cdot\nobreak 2^1\\&\quad+\nobreak 1\cdot\nobreak 2^0\\&=\nobreak 8+\nobreak 0+\nobreak 2+\nobreak 1\\&=\nobreak 11_{10}\end{aligned}

Alltså är 1011 i binär form lika med 11 i decimal form.

Exempel: 25₁₀ till binär

\begin{align*} 25 \div 2 &=\nobreak 12\ \text{rest}\ 1 \\ 12 \div 2 &=\nobreak 6\ \text{rest}\ 0 \\ 6 \div 2 &=\nobreak 3\ \text{rest}\ 0 \\ 3 \div 2 &=\nobreak 1\ \text{rest}\ 1 \\ 1 \div 2 &=\nobreak 0\ \text{rest}\ 1 \end{align*}

Läs resterna nerifrån och upp: 25 i decimal form är 11001 i binär form.

Prefix och stora tal

Kilo (k): $\displaystyle 10^3$
Mega (M): $\displaystyle 10^6$
Giga (G): $\displaystyle 10^9$
Tera (T): $\displaystyle 10^{12}$
Milli (m): $\displaystyle 10^{-3}$
Mikro (μ): $\displaystyle 10^{-6}$
Nano (n): $\displaystyle 10^{-9}$

Vetenskaplig notation

Ett tal skrivs som en faktor mellan 1 och 10 multiplicerat med en potens av 10, t.ex. $\displaystyle 3{,}14 \cdot 10^8$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Talsystemets utveckling

Uppgift: Förklara hur 2023 representeras i decimalt positionssystem.

Exempel 2: Tal i potensform

Uppgift: Skriv 45 000 000 i grundpotensform.

Exempel 3: Prefix och stora tal

Uppgift: Uttryck 3 500 000 000 byte med lämpligt prefix.

Interaktiv träning

Binär till decimal

Skriv ett binärt tal med 0 och 1.

Uppdelning: $\displaystyle 1\times2^{3} + 0\times2^{2} + 1\times2^{1} + 1\times2^{0}$

Decimalvärde: 11

Decimal till binär

Upprepad division med rest.

$\displaystyle 25\div2=12\text{ rest }1$

$\displaystyle 12\div2=6\text{ rest }0$

$\displaystyle 6\div2=3\text{ rest }0$

$\displaystyle 3\div2=1\text{ rest }1$

$\displaystyle 1\div2=0\text{ rest }1$

Binär form: 11001

Grundpotensform

Skriv ett stort eller litet tal i vetenskaplig notation.

$\displaystyle 45000000 = 4{,}5\times10^{7}$

Vanliga misstag

Glömma att ta hänsyn till siffrors position vid avläsning av tal.
Förväxla prefix, till exempel mega och giga.
Felaktig decimalhantering i vetenskaplig notation.
Missförstå nollans betydelse i olika positioner.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra positionssystemet

Tips

Öva platsvärden: identifiera snabbt en siffras värde utifrån position.
Använd visuella hjälpmedel: platsvärdestabeller underlättar stora tal och basomvandling.
Tänk i grupper: gruppera i tusental, miljoner osv för snabb avläsning.
Koppla prefix till vardagen: t.ex. GB, MB och mm för storlekskänsla.
Öva omvandlingar: särskilt mellan binär, decimal och hexadecimal.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Åk 7. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här