Metoder för att lösa ekvationer (Åk 7) | Kapitel 2.2.1

Bakgrund

Att lösa ekvationer är en grundläggande färdighet inom algebran. I årskurs 7 fokuserar vi på linjära ekvationer, som är ekvationer där variabeln (oftast x) har exponenten 1. Uttrycket i vänsterledet kan ses som en linjär funktion; ekvationen frågar vilket x-värde som ger högerledets värde.

Teori

En linjär ekvation har formen ax + $\displaystyle b = c$ , där:

a är koefficienten framför x
b är konstanttermen i vänsterledet
c är högerledet i ekvationen

För att lösa en linjär ekvation använder vi oss av några grundläggande principer:

Målet är att isolera variabeln (x) på ena sidan av likhetstecknet.
Vad vi gör på ena sidan av likhetstecknet måste vi göra på andra sidan för att behålla balansen.
Vi kan addera eller subtrahera samma tal på båda sidor. Vi kan också multiplicera eller dividera båda sidor med samma tal skilt från noll.

Metoder för att lösa linjära ekvationer

1. Additionsmetoden

Denna metod används när vi behöver ta bort termer från ena sidan av ekvationen.

Exempel: Lös ekvationen $\displaystyle x + 5 = 12$

Lösning:

Subtrahera 5 från båda sidor: $x + 5 - 5 = 12 - 5 x = 7$

2. Subtraktionsmetoden

Denna metod används när vi behöver flytta termer från ena sidan till den andra.

Exempel: Lös ekvationen $\displaystyle x - 3 = 9$

Lösning:

Addera 3 till båda sidor: $x - 3 + 3 = 9 + 3 x = 12$

3. Multiplikationsmetoden

Denna metod används när vi behöver ta bort en bråkdel framför variabeln.

Exempel: Lös ekvationen $\displaystyle \frac{1}{3}x = 6$

Lösning:

Multiplicera båda sidor med 3: $3 \cdot \frac{1}{3}x = 3 \cdot 6 x = 18$

4. Divisionsmetoden

Denna metod används när vi behöver ta bort en koefficient framför variabeln.

Exempel: Lös ekvationen $\displaystyle 4x = 20$

Lösning:

Dividera båda sidor med 4: $\frac{4x}{4} = \frac{20}{4} x = 5$

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Ålder

Uppgift: Lisa är 5 år äldre än sin bror. Om summan av deras åldrar är 35 år, hur gammal är Lisa?

Exempel 2: Ekonomi

Uppgift: Du vill spara ihop till en cykel som kostar 3000 kr. Om du sparar 250 kr varje månad, hur många månader tar det innan du har råd med cykeln?

Interaktiv verkstad

Träna metodval

Fyra snabba beräkningar med respektive metod.

$\displaystyle x+5=5\quad\Rightarrow\quad x=0{,}00$

$\displaystyle x-3=3\quad\Rightarrow\quad x=6{,}00$

$\displaystyle \frac{x}{3}=6\quad\Rightarrow\quad x=18{,}00$

$\displaystyle ax=c$ med divisionsmetoden

Välj a och c och lös $\displaystyle x = \frac{c}{a}$ .

$\displaystyle x=\frac{20}{4}=5{,}000$

Åldersproblem med slider

Variera skillnaden mellan Lisa och hennes bror.

Åldersskillnad5 år

Bror: 15,00 år

Lisa: 20,00 år

Kontroll: 35,00 år (ska bli 35,00 år)

Vanliga misstag

Glömma att utföra samma operation på båda sidor av likhetstecknet.
Felaktig ordning på operationer (kom ihåg prioriteringsreglerna).
Förväxla addition och multiplikation vid lösning av ekvationer.
Inte kontrollera svaret genom att sätta in det i den ursprungliga ekvationen.

Vanliga frågor

Fråga 1: Hur vet jag vilken metod jag ska använda?

Valet av metod beror på ekvationens struktur. Börja med att identifiera vad som "hindrar" x från att stå ensam. Om det är ett tal som adderas eller subtraheras, använd additions- eller subtraktionsmetoden. Om x har en koefficient eller är i en bråkform, använd multiplikations- eller divisionsmetoden.

Fråga 2: Vad gör jag om ekvationen har x på båda sidor?

Om x förekommer på båda sidor av likhetstecknet, börja med att flytta alla x-termer till ena sidan och alla konstanta termer till andra sidan. Sedan kan du lösa ekvationen som vanligt.

Exempel

$\displaystyle 2x + 3 = x + 8$
Subtrahera x från båda sidor: $\displaystyle x + 3 = 8$
Subtrahera 3 från båda sidor: $\displaystyle x = 5$

Fråga 3: Hur kontrollerar jag om mitt svar är korrekt?

För att kontrollera ditt svar, sätt in lösningen i den ursprungliga ekvationen och se om vänster sida blir lika med höger sida. Om de är lika, är din lösning korrekt.

Tips för att bemästra ekvationslösning

Viktigt

Visualisera ekvationen som en våg som alltid måste vara i balans. Vad du gör på ena sidan måste du göra på andra sidan för att behålla balansen.
Träna på att identifiera vilken operation som behövs för att isolera x. Detta kommer att hjälpa dig att välja rätt metod snabbare.
Använd parenteser när du flyttar termer mellan sidorna för att undvika teckenfel.
Skriv alltid ut alla steg i din lösning. Det hjälper dig att hålla koll på dina tankar och gör det lättare att hitta eventuella fel.

Kontrollera din förståelse

Testa dig själv1/4

Lös: $\displaystyle 2x + 5 = 13$

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Åk 7. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Bakgrund

Teori

Metoder för att lösa linjära ekvationer

1. Additionsmetoden

2. Subtraktionsmetoden

3. Multiplikationsmetoden

4. Divisionsmetoden

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Ålder

Exempel 2: Ekonomi

Interaktiv verkstad

Träna metodval

ax=c\displaystyle ax=cax=c med divisionsmetoden

Åldersproblem med slider

Vanliga misstag

Vanliga frågor

Exempel

Tips för att bemästra ekvationslösning

Viktigt

Kontrollera din förståelse

Testa dig själv1/4

Testa att du förstått

$\displaystyle ax=c$ med divisionsmetoden