Likformiga figurer (Åk 7) | Kapitel 3.4.2

Teori

Likformiga figurer har samma form men kan vara olika stora. De har proportionella sidor och lika stora vinklar.

Viktigt

Alla motsvarande vinklar är lika stora.
Förhållandet mellan motsvarande sidor är konstant (skalfaktor).

Skalan beräknas som längd i förstorad figur delat med motsvarande längd i originalfiguren.

k=\frac{L}{l}

k är skalfaktorn från originalet till avbildningen. L är sidlängden i avbildningen och l är motsvarande sidlängd i originalet, mätta i samma enhet.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Identifiera likformiga trianglar

Uppgift: Avgör om trianglarna är likformiga.

6 cm5 cm5 cm

9 cm7,5 cm7,5 cm

Båda trianglarna är likbenta och ritade med samma skala. Motsvarande sidor jämförs i samma ordning.

Exempel 2: Beräkna okänd sida

Uppgift: Trianglarna ABC och DEF är likformiga. AB motsvarar DE och BC motsvarar EF. AB = 8 cm, BC = 6 cm och DE = 12 cm. Beräkna EF.

Exempel 3: Likformighet i verkliga livet

Uppgift: En person är 1,8 m och har skugga 3 m. Ett träd har skugga 15 m. Hur högt är trädet? Skuggorna mäts samtidigt på plan mark och både personen och trädet står lodrätt.

Interaktiv verkstad

Talens absolutbelopp får vara högst 1 000 000. Tal skilda från noll ska vara minst 0,000001 i absolutbelopp. Längder och skalor ska vara positiva.

Beräkna sida med skala

Figurerna är likformiga. Beräkna sidan som motsvarar den lilla sidans längd. Alla längder anges i centimeter.

Skalfaktor: 1,500

Motsvarande stor sida: 7,500 cm

Beräkna EF i likformiga trianglar

AB motsvarar DE och BC motsvarar EF. Ange sidlängder i centimeter.

Skala: 1,500

EF: 9,000 cm

Skuggproblem

Mät skuggorna samtidigt på plan mark. Personen och trädet ska stå lodrätt.

Trädets höjd: 9,000 m

Likformighet: area och volym

Skalfaktor k2

Areafaktor: $\displaystyle k^2$ = 4

Volymfaktor: $\displaystyle k^3$ = 8

Vanliga misstag

Anta att lika vinklar betyder kongruens. För trianglar räcker lika motsvarande vinklar för likformighet, men inte för samma storlek.
Glömma att kontrollera både vinklar och sidförhållanden.
Förväxla skalfaktor med area- och volymfaktorer.

Vanliga frågor

Fråga 1: Skillnad mellan likformiga och kongruenta figurer?

Likformiga har samma form men kan ha olika storlek. Kongruenta har både samma form och storlek.

Fråga 2: Hur påverkas area och volym?

Om skalfaktorn är $\displaystyle k$ blir areafaktorn $\displaystyle k^2$ och volymfaktorn $\displaystyle k^3$ .

Exempel

Om en kub förstoras med skalan 2 blir arean 4 gånger större och volymen 8 gånger större.

Fråga 3: Hur används likformighet i vardagen?

I kartor, arkitektur, fotografi och skalenliga modeller där proportioner måste bevaras.

Tips för att bemästra likformiga figurer

Identifiera motsvarande delar: para alltid sida mot rätt sida och vinkel mot rätt vinkel.
Använd proportioner: korsvis multiplikation hjälper ofta vid okända sidor.
Använd likformighetssatser: AAA och SAS är viktiga vid bevis av likformighet.
Visualisera skalförändring: tänk hur figuren växer/förminskas proportionellt.

Kontrollera din förståelse

Testa dig själv1/3

Vad krävs för att två figurer ska vara likformiga?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i geometri för Åk 7. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här