Statistik, sannolikhet och kombinatorik (Åk 6) | Kapitel 5

Bakgrund

Statistik, sannolikhet och kombinatorik hjälper oss att förstå och analysera data, förutsäga händelser och räkna antalet möjliga utfall i olika situationer. Kunskaperna används i vardagen och i många yrken.

Teori

1. Statistik

Statistik handlar om att samla in, organisera, analysera och presentera data.

a) Datainsamling

Datainsamling är processen att samla information, till exempel med enkäter, observationer eller experiment.

b) Datarepresentation

Data kan presenteras på olika sätt:

Tabeller: organiserar data i rader och kolumner.
Stapeldiagram: visar frekvensen av olika kategorier med staplar.
Cirkeldiagram: visar hur delar bidrar till en helhet.
Linjediagram: visar hur data förändras över tid.

Exempel: Favoritglass i en klass

Stapeldiagram med matematiskt korrekt skala:

Favoritglass

Vågrät skala: Antal elever. Alla staplar börjar vid $\displaystyle 0$ .

\displaystyle 0

\displaystyle 7

\displaystyle 14

Jordgubb $\displaystyle 4$
Vanilj $\displaystyle 9$
Choklad $\displaystyle 14$
Mint $\displaystyle 6$

Avståndet mellan rutlinjerna motsvarar $\displaystyle 1$ .

c) Lägesmått

Lägesmått beskriver typiska värden i en datamängd:

Medelvärde: summan av alla värden delat med antalet värden.
Median: det mittersta värdet när datan är sorterad.
Typvärde: det värde som förekommer oftast.

Exempel: Lägesmått

För talen 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8:

Summan av de nio talen är 43. Medelvärdet är $\displaystyle \frac{43}{9}\approx4{,}78$ .
Median: 5 (mittersta talet).
Typvärde: 3 och 5 (förekommer oftast).

2. Sannolikhet

Sannolikhet beskriver hur troligt det är att något händer och ligger mellan 0 och 1 (eller $\displaystyle 0\%$ och $\displaystyle 100\%$ ).

g är antalet gynnsamma utfall. n är antalet möjliga utfall. P betecknar sannolikheten. Formeln gäller när alla utfall är lika sannolika.

\begin{gathered}P\\=\frac{g}{n}\end{gathered}

Exempel: Dra en röd kula

I en påse med 20 kulor är 5 röda, 8 blå och 7 gröna. Sannolikheten att dra en röd kula:

\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=\nobreak 0{,}25=\nobreak 25\%

3. Kombinatorik

Kombinatorik handlar om att räkna antalet möjliga kombinationer eller ordningar.

a) Multiplikationsprincipen

Om en händelse kan ske på $\displaystyle m$ sätt och en annan oberoende på $\displaystyle n$ sätt, kan de tillsammans ske på $\displaystyle m\cdot n$ sätt.

Exempel: 3 tröjor och 2 par byxor ger $\displaystyle 3 \times 2 = 6$ klädslar.

b) Additionsprincipen

Om två händelser är ömsesidigt uteslutande och kan ske på $\displaystyle m$ respektive $\displaystyle n$ sätt, kan någon av dem ske på $\displaystyle m+n$ sätt.

Exempel: 15 pojkar och 18 flickor, välj en elev: $\displaystyle 15 + 18 = 33$ sätt.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Statistik

Uppgift: Antal syskon för 10 elever: 1, 2, 0, 3, 1, 2, 1, 0, 2, 1

a) Skapa frekvenstabell

b) Rita stapeldiagram

c) Beräkna medelvärde, median och typvärde

Lösning:

a) Frekvenstabell:

Antal syskon	Frekvens
0	2
1	4
2	3
3	1

b) Stapeldiagram:

Antal elever med olika antal syskon

Vågrät skala: Antal elever. Alla staplar börjar vid $\displaystyle 0$ .

\displaystyle 0

\displaystyle 2

\displaystyle 4

0 syskon $\displaystyle 2$
1 syskon $\displaystyle 4$
2 syskon $\displaystyle 3$
3 syskon $\displaystyle 1$

Avståndet mellan rutlinjerna motsvarar $\displaystyle 1$ .

c) Lägesmått:

Summan är 13 och antalet värden är 10. Medelvärdet är $\displaystyle \frac{13}{10}=1{,}3$ .
Median: sorterat 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3 ger median $\displaystyle \frac{1 + 1}{2} = 1$
Typvärde: 1 (förekommer oftast)

Exempel 2: Sannolikhet

Uppgift: I en låda finns 4 röda, 3 blå och 5 gröna kulor. Beräkna sannolikheten att:

Exempel 3: Kombinatorik

Uppgift: En glasskiosk har 3 smaker, 2 strutar och 2 toppings. Hur många olika glassar kan du beställa med en smak, en strut och en topping?

Interaktivt labb

1. Statistikräknare

Skriv tal separerade med komma, mellanslag eller semikolon.

Separera talen med semikolon, till exempel 1,5; 2,5; 3. Skriv decimaler med komma. Använd högst 2 000 värden, vart och ett mellan -1 000 000 000 och 1 000 000 000.

Sorterad data: 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3

Medelvärde: 1,30

Median: 1,00

Typvärde: 1

Frekvens: 0→2, 1→4, 2→3, 3→1

2. Sannolikhet med kulor

Beräkna röd, icke-grön och två röda utan återläggning.

Totalt antal kulor: 12

P(röd): 33,33%

P(icke-grön): 58,33%

P(två röda utan återläggning): 9,09%

3. Kombinationsräknare

$\displaystyle \text{Antal sätt} = \text{val 1} \times \text{val 2} \times \text{val 3}$

Totalt antal kombinationer: 12

Vanliga misstag

Undvik detta

Förväxla medelvärde och median.
Glömma alla möjliga utfall i sannolikhetsberäkningar.
Förväxla "och" (multiplikation) med "eller" (addition) i kombinatorik.
Felaktig tolkning av data i diagram eller tabeller.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra området

Viktigt att tänka på

Identifiera alltid möjliga utfall och gynnsamma utfall i sannolikhet.
Skriv ut varje steg i kombinatoriska problem så att inget tappas bort.
Var kritisk till hur data samlats in och om den är representativ.
Sortera data före median- och typvärdesberäkning.
Ge diagram tydlig titel, märkta axlar och rimlig skala.

Kom ihåg

I statistik räcker det inte att räkna ut värden. Du behöver också tolka vad resultaten betyder i sammanhanget.

Fördjupning för högre betyg

Mer avancerade sannolikhetsberäkningar

Exempel: I en påse finns 3 röda, 4 blå och 5 gröna kulor. Du drar två kulor utan återläggning. Vad är sannolikheten att båda är röda?

Lösning:

Totalt antal kulor: 12

Sannolikhet första röda: $\displaystyle \frac{3}{12}$

Sannolikhet andra röda givet första röd: $\displaystyle \frac{2}{11}$

\begin{gathered}\left(\frac{3}{12}\right)\cdot\nobreak \left(\frac{2}{11}\right)\\=\frac{1}{22}\\\approx\nobreak 0{,}0455\\\approx\nobreak 4{,}55\%\end{gathered}

Mer komplexa kombinatoriska problem

Exempel: I en klass med 25 elever ska man välja en ordförande, en sekreterare och en kassör. På hur många sätt kan detta göras?

Lösning: permutation utan upprepning

25 val för ordförande
24 val för sekreterare
23 val för kassör

Totalt antal möjligheter: $\displaystyle 25 \times 24 \times 23 = 13\,800$

Analys och tolkning av statistiska data

Exempel: Försäljning av glassar under en vecka

Dag	Temperatur (°C)	Antal sålda glassar
Måndag	22	150
Tisdag	24	180
Onsdag	26	220
Torsdag	23	170
Fredag	25	200
Lördag	27	250
Söndag	26	230

Visualisering: Linjediagram över försäljning under veckan.

Glassförsäljning under veckan

Lodrät axel: Antal sålda glassar

MånTisOnsTorFreLörSön140160180200220240260

Vågrät axel: Dag

Rutlinjerna på x-axeln visar de markerade värdena. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 20.

Heldragen: Antal sålda glassar

Läs y-axelns skala innan du jämför förändringarnas storlek.

Mån: $\displaystyle 150$
Tis: $\displaystyle 180$
Ons: $\displaystyle 220$
Tor: $\displaystyle 170$
Fre: $\displaystyle 200$
Lör: $\displaystyle 250$
Sön: $\displaystyle 230$

Visualisering: Punktdiagram temperatur mot försäljning.

Temperatur och glassförsäljning