Åk 8
Kapitel 1.3.2

Tiopotens och grundpotensform

Lär dig skriva mycket stora och små tal på kompakt form med potenser av 10, och räkna säkert med dessa uttryck.

På den här sidan

Vad är tiopotens och grundpotensform?

Tiopotens och grundpotensform är sätt att skriva mycket stora och mycket små tal på ett kompakt och lätthanterligt sätt. Med potenser av 10 kan vi uttrycka tal från miljarddelar till miljarder utan att skriva alla nollor.

Teori

Grundpotensform

Ett tal skrivs som en produkt av en mantissa mellan 1 och 10 och en potens av 10:

a⋅10na\cdot\nobreak 10^n

Där a\displaystyle a uppfyller 1≤∣a∣<10\displaystyle 1\le |a|<10 och n\displaystyle n är ett heltal.

Exempel:

  • 5⋅103=5000\displaystyle 5\cdot10^3=5000
  • 8,4⋅10−2=0,084\displaystyle 8,4\cdot10^{-2}=0,084
  • 1,6⋅106=1 600 000\displaystyle 1,6\cdot10^6=1\,600\,000

Tiopotens

Tiopotens är ett specialfall av grundpotensform där mantissan är 1:

10n10^n

Exempel:

  • 103=1000\displaystyle 10^3=1000
  • 10−4=0,0001\displaystyle 10^{-4}=0,0001
  • 1012=1 000 000 000 000\displaystyle 10^{12}=1\,000\,000\,000\,000 (en biljon)

Konvertering mellan tiopotens och grundpotensform

Nyttiga omskrivningar:

a⋅10n=(a⋅100)⋅10n=a⋅10n+0\begin{gathered}a\cdot\nobreak 10^n\\=(a\cdot\nobreak 10^0)\cdot\nobreak 10^n\\=a\cdot\nobreak 10^{n+\nobreak 0}\end{gathered}10n=1⋅10n10^n=1\cdot\nobreak 10^n

Exempel:

  • 5⋅103=5⋅103+0\displaystyle 5\cdot10^3=5\cdot10^{3+0}
  • 10−4=1⋅10−4\displaystyle 10^{-4}=1\cdot10^{-4}

Fördjupning: användning av prefix

Vanliga prefix kopplade till potenser av 10:

PrefixPotens
kilo (k)103\displaystyle 10^3
mega (M)106\displaystyle 10^6
giga (G)109\displaystyle 10^9
tera (T)1012\displaystyle 10^{12}
piko (p)10−12\displaystyle 10^{-12}
nano (n)10−9\displaystyle 10^{-9}
mikro (μ)10−6\displaystyle 10^{-6}
milli (m)10−3\displaystyle 10^{-3}

Exempel:

  • 5 000 000=5⋅106=5 M\displaystyle 5\,000\,000=5\cdot10^6=5\,\mathrm{M}
  • 0,000 000 005=5⋅10−9=5 n\displaystyle 0,000\,000\,005=5\cdot10^{-9}=5\,\mathrm{n}
  • 1 600 000 000 000=1,6⋅1012=1,6 T\begin{gathered}1\,600\,000\,000\,000\\=\nobreak 1,6\cdot\nobreak 10^{12}\\=\nobreak 1,6\,\mathrm{T}\end{gathered}

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Omvandling mellan olika former

Uppgift: Omvandla talen 8 400 000, 0,000000056 och 2 800 000 000 000 till grundpotensform, tiopotens och prefix.

Exempel 2: Beräkningar med tiopotens

  1. 104⋅10−2=104+(−2)=102=100\displaystyle 10^4\cdot10^{-2}=10^{4+(-2)}=10^2=100
  2. 107÷103=107−3=104=10 000\displaystyle 10^7\div10^3=10^{7-3}=10^4=10\,000
  3. (105)3=105⋅3=1015\displaystyle (10^5)^3=10^{5\cdot3}=10^{15}

Exempel 3: Tillämpning av tiopotens och prefix

Uppgift: En stjärna har massan 1,98⋅1030\displaystyle 1,98\cdot10^{30} kg. Hur många gram är det?

Interaktiv träning

Tal till grundpotensform

Normaliserad mantissa: 1 ≤ |a| < 10.

8,4⋅106\displaystyle 8{,}4\cdot10^{6}

Tiopotensberäkning

Beräkna 10a⋅10b\displaystyle 10^a\cdot10^b.

104⋅10−2=102\displaystyle 10^{4}\cdot10^{-2}=10^{2}

Värde: 100

Multiplicera i grundpotensform

Normaliserar resultatet automatiskt.

Före normalisering: 7,4399999999999995⋅103\displaystyle 7{,}4399999999999995\cdot10^{3}

Normaliserat: 7,439999999999999⋅103\displaystyle 7{,}439999999999999\cdot10^{3}

Vanliga frågor

Fråga 1: Varför är tiopotens och grundpotensform viktiga?

  • De gör stora och små tal kompakta och lättare att läsa.
  • De förenklar beräkningar med extrema storlekar.
  • De används i naturvetenskap, teknik och ekonomi.

Fråga 2: Hur adderar och subtraherar jag tal i grundpotensform?

Se först till att exponenterna är lika och räkna sedan med mantissorna:

2,4⋅105+3,1⋅105=(2,4+3,1)⋅105=5,5⋅105\begin{gathered}2,4\cdot\nobreak 10^5 + 3,1\cdot\nobreak 10^5\\=\nobreak (2,4+\nobreak 3,1)\cdot\nobreak 10^5\\=\nobreak 5,5\cdot\nobreak 10^5\end{gathered}6,2⋅103−1,8⋅103=(6,2−1,8)⋅103=4,4⋅103\begin{gathered}6,2\cdot\nobreak 10^3 - 1,8\cdot\nobreak 10^3\\=\nobreak (6,2-\nobreak 1,8)\cdot\nobreak 10^3\\=\nobreak 4,4\cdot\nobreak 10^3\end{gathered}

Fråga 3: Hur multiplicerar och dividerar jag tal i grundpotensform?

Multiplicera 2,4⋅105\displaystyle 2{,}4\cdot10^5 med 3,1⋅10−2\displaystyle 3{,}1\cdot10^{-2}. Multiplicera mantissorna och addera exponenterna:

(2,4⋅3,1)⋅105+(−2)=7,44⋅103\begin{gathered}\left(2{,}4\cdot\nobreak 3{,}1\right)\\\cdot\nobreak 10^{5+\nobreak (-\nobreak 2)}\\=7{,}44\cdot\nobreak 10^3\end{gathered}6,2⋅1031,8⋅102=6,21,8⋅103−2≈3,44⋅101\begin{gathered}\frac{6{,}2\cdot\nobreak 10^3}{1{,}8\cdot\nobreak 10^2}\\=\frac{6{,}2}{1{,}8}\cdot\nobreak 10^{3-\nobreak 2}\\\approx\nobreak 3,44\cdot\nobreak 10^1\end{gathered}

Tips för att bemästra tiopotens och grundpotensform

  1. Öva omvandlingar: växla mellan decimal form, grundpotensform och prefix.
  2. Använd räkneregler: addera/subtrahera exponenter korrekt.
  3. Tänk i storleksordning: kontrollera om svaret är rimligt.
  4. Lägg märke till mönster: till exempel 10−n=110n\displaystyle 10^{-n}=\frac{1}{10^n}.
  5. Använd prefix vid behov: förkorta skrivning av stora/små tal.
  6. Var noggrann vid omvandlingar: små exponentfel ger stora konsekvenser.

Kom ihåg

Behärskning av tiopotens och grundpotensform gör det möjligt att arbeta effektivt med extrema tal inom matematik, naturvetenskap och teknik.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Åk 8. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Aktivera JavaScript för att använda formulär och interaktiva verktyg. Sidans innehåll och länkar kan läsas utan JavaScript.